变分算法：VQE 与 QAOA
一句话定义
变分量子算法把"计算"交给参数化量子线路 U(θ) 制备试探态、把"优化"交回经典计算机迭代调 θ 以最小化目标期望值，VQE 求基态能量、QAOA 求组合优化近似解——它们是 NISQ 时代浅电路约束下的主流算法框架。
为什么重要
Shor 与 Grover 的深线路在噪声设备上跑不动（kp-020 的深度预算），变分算法用"浅量子 + 经典外环"绕开这一约束，是 2018–2024 年间几乎所有"量子优势候选实验"的算法形态。理解它，等于理解当前产业界（kp-027、kp-028）实际在跑什么；理解它的局限（采样成本、贫瘠高原、经典方法追赶），则是对当前报道保持清醒的关键。
前置知识
kp-013（线路深度与编译的现实约束）、kp-020（噪声与退相干，本节动机来源）。期望值与方差的概率常识就地补齐。
核心概念
- 试探态拟设（ansatz）：带参数的线路族 U(θ)|0…0⟩；硬件高效拟设（单比特旋转 + 交错纠缠层，浅）与化学拟设 UCCSD（结构物理意义强，深）是两端。
- 变分原理：对任意试探态，⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ ≥ E₀（基态能量）——最小化期望值即逼近基态。
- 期望值估计：Pauli 串的期望靠重复测量统计；精度 ε 需要 O(1/ε²) 次采样——方差说话，不是门数说话。
- QAOA：p 层"代价算符 e−iγC + 混合算符 e−iβB"交替，参数 (γ,β) 共 2p 个；p→∞ 收敛到精确解，p 有限给出近似比。
- 贫瘠高原（barren plateau）：随机深线路的损失函数梯度方差随比特数指数缩小，优化陷入平地。
直观类比
调收音机找最清晰的频道：旋钮位置是参数 θ，"清晰度"是目标期望值，你是经典优化器，收音机的谐振电路是量子线路。量子部分负责产生"只有它能产生的丰富信号形态"，经典部分负责笨拙但可靠的旋钮搜索。这个分工正是 NISQ 的生存智慧——把量子资源用在刀刃（态制备与测量）上，把搜索交给成熟的经典算法。
原理与机制
VQE 流程（以化学基态为例，衔接 kp-027）：把分子哈密顿量写成 Pauli 串之和 H = Σj cjPj；对每组 θ 制备 |ψ(θ)⟩，逐项测量 ⟨Pj⟩ 并加权求和得能量 E(θ)；经典优化器（梯度类或无梯度类）更新 θ；收敛的 E(θ*) 即基态能量上界。误差三来源：统计采样 O(1/√S)、噪声偏置、ansatz 表达力。QAOA 针对 MaxCut 类问题：初始均匀叠加，p 层交替施加"按问题代价转相位"与"按图混合"，测量后经典寻优；理论保证仅给出与 p 相关的近似比，且常数不占优——它的价值在实证而非保证。两个结构性难题：其一，期望值估计的采样成本随精度平方增长，化学精度（~1.6 mHartree）在真机上代价高昂；其二，McClean 等 (2018) 指出深 ansatz 的梯度指数消失，可训练性本身成为瓶颈。这两个难题决定了"变分算法有没有优势"仍是一个开放的实证问题。
公式或模型
变分上界：E(θ) = ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ ≥ E₀。
采样成本：S = O(Var/ε²)——把能量估到化学精度 ε 需要的测量次数。
QAOA 态：|γ,β⟩ = e−iβpBe−iγpC…e−iβ₁B e−iγ₁C |+⟩⊗n。
图示
实例或案例
里程碑链条：Peruzzo 等 (2014) 光子上首个 VQE 演示（HeH⁺ 两比特）；此后超导/离子平台推进到十余比特的小分子。同步进行的"经典追赶"同样值得记录：张量网络与组态相互作用方法不断把无噪声经典可精确处理的规模推高，使多数小分子演示的"量子优势"无法成立——这组对照是 kp-033 的核心案例之一。工业侧，kp-028 的优化 PoC 大多采用 QAOA 框架。
与其他知识点的关系
kp-013 的深度预算是它存在的理由；kp-020 的噪声水平决定可行 ansatz 深度；kp-027 是其最对口的靶场；kp-028 是其最拥挤的赛道；kp-033 提供"何时该相信变分实验"的核查清单。
常见误区
- "变分算法=已证明有优势"：没有任何变分算法拥有相对最优经典算法的严格分离；小规模演示的优势常被更强的经典方法抹平。
- "采样成本不重要"：期望值估计是平方级成本；真机上的"快速收敛"若测量次数被省略，结论不完整。
- "QAOA 的 p 越大越好"：p 增大线路变深、噪声偏置变大；NISQ 下存在最优 p，通常很小。
自测题
- 为什么变分原理保证最小化 E(θ) 会逼近基态？
- 把能量估计精度提高 10 倍，采样次数大约增加多少？
- 贫瘠高原为何随规模恶化？
答案要点：谱分解 H = ΣEᵢ|φᵢ⟩⟨φᵢ⟩，⟨ψ|H|ψ⟩ = ΣEᵢ|⟨φᵢ|ψ⟩|² ≥ E_min·Σ|⟨φᵢ|ψ⟩|² = E₀。
答案要点：约 100 倍（S ∝ 1/ε²）；这是期望值估计类方法共同的税。
答案要点：随机参数化下损失对各参数的梯度期望为零、方差随比特数指数衰减，优化器在大规模上失去信号。
延伸阅读
Peruzzo 等 (2014)（VQE 起点）；McClean 等 (2018)（贫瘠高原）；Y. Cao 等 (2019) Chemical Reviews 综述（含 VQE 在化学中的系统定位）。